数学+艺术，碰撞出怎样的奇妙世界

埃舍尔的的版画《瀑布》

彭罗斯三角

彭罗斯阶梯

2020年的诺贝尔物理学奖授予三位科学家，其中英国科学家罗杰·彭罗斯因证明黑洞是爱因斯坦广义相对论的直接结果而获奖。本文通过讲述彭罗斯与艺术家埃舍尔之间的友情，生动证明了艺术和数学结合能够相互激发丰富而奇妙的灵感。

彭罗斯是一个百科全书式的人物，知识渊博、兴趣广泛，在多个领域富有建树。科学家彭罗斯和艺术家埃舍尔有一段艺术与科学相互促进的佳话，证明了博雅教育的重要意义。

荷兰版画家莫里茨·科内利斯·埃舍尔（1898年－1972年）擅长运用数学原理冲破传统的版画艺术，其作品描绘了诸多现实世界不可能出现的物体和景象，散发出独特而神秘的气质。当年埃舍尔的作品在艺术圈颇有争议，但是深受数学家的喜爱。青年彭罗斯就是在一次数学家大会上邂逅埃舍尔。

1954年，还在剑桥读研究生二年级的彭罗斯参加了在阿姆斯特丹召开的国际数学家大会。“记得在那里见到了一个我很熟悉的演讲者，他手里就有这本目录册。册子的封面就是埃舍尔的画《昼与夜》，画里的鸟儿在向着相反的方向飞行。景色的一边是黑夜，另一边是白昼。我记得被它迷住了，于是就问他是从哪里搞到的。他说：‘噢，有个叫埃舍尔的画家在举办一个展览，也许你会感兴趣。’”第一眼就吸引了彭罗斯的《日与夜》是埃舍尔创作于1938年的木刻，也是埃舍尔副本销售量最高的作品。彭罗斯马上去看了埃舍尔的画展，“我去了那里，于是就被这些不同于任何我所见过事物的诡异而奇妙的画面深深地吸引了。”其中就有名为《相对论》的石版画（1953年），这幅画好像一个科幻作品，描绘了生活在三个不同的的引力空间的三组人共用一个楼梯的诡异画面。

图画里的奇妙世界有什么数学原理吗？在回英格兰的路上，彭罗斯决定自己也来画一画不可能的图形。后来，他把自己画的图形拿给父亲看。他的父亲莱昂内尔·彭罗斯是一位著名的遗传学家和精神病学家，老彭罗斯也被迷住了。两人联手写了一篇论文发表在1958年2月份的《英国心理学杂志》上。论文中不可能的图形被命名为彭罗斯三角及其变体彭罗斯阶梯，彭罗斯称之为“最纯粹形式的不可能”。

不久，埃舍尔通过朋友介绍阅读了这篇论文，虽然他从小数学不好，但是看到了彭罗斯三角后，也感到大开眼界深受启发，创作出了广受世人瞩目的石版画《上升与下降》（1960年）石版画《瀑布》（1961）。

《上升与下降》是彭罗斯阶梯的艺术呈现，图画里有一座无限循环的的楼梯，好像是往上走，又好像是往下走，但是其实高度并没有变化。读者的视角跟着图画中的僧侣不断向上向上，却又回到了出发点。

《瀑布》中，埃舍尔把三个彭罗斯三角连接起来，创造了一个不断循环如同永动机一般的瀑布。读者的目光如果从作品左上角开始，会看到瀑布一直往下流动，突然最低点又变成了最高点，瀑布再一次从上往下流动。

1960年，两人开始通信，埃舍尔把自己的作品送给了彭罗斯，并感谢数学对自己的启发。1962年，彭罗斯前往荷兰拜访了埃舍尔。两人都喜欢镶嵌画，相谈甚欢。作为回赠，彭罗斯送了一个特别的礼物给埃舍尔，那是一片独特的拼图。这背后是一个影响世界的数学原理，后来被命名为彭罗斯地砖。

一直以来，人们都认为如果以一种有序的模式填充无序的表面，必然会出现重复。彭罗斯一直都试图设计一种镶嵌的方案，永远不会出现平移重复。1958年，罗杰·彭罗斯和他的父亲为英国《新科学家》杂志的圣诞特刊写了一篇关于非周期性镶嵌的文章。1974年，彭罗斯发明了一种只有两种基本形状的非周期性镶嵌方案。这个理论启发了以色列科学家丹尼尔·舍特曼于1982年发现准晶体，并于2011年获得诺贝尔化学奖。今天，彭罗斯地砖已经成为了一种代表数学的艺术。2013年，牛津大学将数学系大楼入口改成彭罗斯地砖铺设。美国德州农工大学物理与天文研究所、迈阿密大学数学系铺的也是彭罗斯地砖。

话说当年，埃舍尔拿到彭罗斯送的拼图，琢磨出了独特的镶嵌画。在给彭罗斯的一封信中，他设计出了自己的图案，并把它称作“小幽灵”。1971年5月，埃舍尔用这个基本图案完成了他的最后一幅镶嵌作品，作品中的镶嵌图案只能以唯一的模式组合。

埃舍尔描述了很多数学图形，让很多科学家都觉得可以用来形象阐释自己的理论。彭罗斯在他的科普作品《皇帝新脑》一书中用埃舍尔的《圆极限》解释罗巴契夫斯基空间，杨振宁在《基本粒子发现简史》用了埃舍尔的《骑士》做封面，表达基本粒子的对称性。协同学的创始人赫尔曼·哈肯在《协同学》中使用了埃舍尔的《画手》，认为这正代表序参量。

彭罗斯和埃舍尔两个人的友情生动证明了艺术和数学如何互相给予丰富的奇妙的灵感。埃舍尔曾说：“我们似乎很难想象天空中最远的那颗星星之外还有什么。‘虚无’这个符号对我们来说当然有一定的意义，因为一个空间可以是空的，但是我们的想象力还是会去好奇空的空间之外还有什么。”艺术家和科学家用不同的方式探索宇宙星辰，在不可能的世界里找到可能，他们尽情释放好奇心和想象力，直到世界的尽头。

《魔镜——埃舍尔的不可能世界》的作者恩斯特曾这样评价埃舍尔：“对于生命所具有的创造美的无穷能力，他从来没有放弃过敬畏与惊叹之心。”这句话也同样适用于探究宇宙奥秘的科学家。